GPT -o1 模型发布 推理能力真这么强？

9 月 24 日，OpenAI 重磅推出了 GPT-o1 模型（以下简称 “o1”），这个新版本的目标是大幅提升 GPT 的推理和逻辑能力。然而，许多用户通过官方 demo 和各大 AI 大佬的分享后纷纷表示，o1 的回答速度明显 “降速”，但这并不是因为它 “卡” 了，而是它变得更 “深思熟虑” 了。根据官方的说法，o1 在回答之前会进行充分的思考，确保自己的回答不仅对得上用户的问题，还要逻辑严谨。这种慎重的态度，让它更像是在回答前先做了一番 “头脑风暴”。

另外，令人啼笑皆非的是，o1 模型似乎又回到了只能支持文字输入的模式。可以打趣地说，OpenAI 自从 GPT-4 开始对图片、语音和文档领域的拓展努力，现在仿佛又被 “打回了原形”，聚焦于最纯粹的文字和逻辑。在各大社交媒体上，不少科技达人都在测试 o1 的表现，大家一致感叹：o1 的回答更像是 “经过考虑后的发言”。尤其是在处理那些之前让 AI 挠头的刁钻问题上，o1 的应对能力有了显著提升。比如经典的 “strawberry 这个单词里有几个字母 r？”（“how many r’s in the word strawberry?”），此前 GPT-4.0 因为 token 分割的问题，往往无法给出准确答案：

但是在 o1 给出的答案中，则是正确的：

由此可见，o1 的逻辑推理能力更像人类，且更加准确。那么问题来了，如何在实际应用中检验这一点呢？最简单、最具挑战性的推理测试非那个堪称 “大型多人实景头脑风暴情景剧本杀” 的终极试题莫属 —— 高考数学试卷。

在以往每次 GPT 的升级过程中，总会有热心的 AI 工作者祭出高考数学试卷对其进行 “灵魂拷问”，然而，结果往往不尽如人意。

过去，AI 的回答经常像个 “学舌” 的小孩子，这是因为这类大语言模型的训练方式有关──它们总是试图从自己的模型库中找到尽可能相关的答案，结果却常常南辕北辙。AI 看似给出了答案，甚至每句话听起来像是在解答问题，但实际上却完全避开了题目的核心，令人哭笑不得。每次的推理过程仿佛一场杂乱无章的思维跳跃，最终得出的结论不仅毫无逻辑，正确性更是无从谈起。

而现在，随着 o1 的推出，这种情况或许会有所改变。它不再只是 “尽量凑近” 的无效回答，而是经过一番 “深思熟虑” 之后，给出的解答更具逻辑性和准确度。这也让我们对未来的 AI 在复杂推理场景下的表现充满期待 —— 是否 o1 真的能在高考数学试卷上打出一张像模像样的答卷？它的思考过程与一般的人类究竟还有什么区别？

正好最近我也在忙高中的在线教育项目，身边正好有一位对 AI 技术颇感兴趣的数学老师。于是，我简单说明了我的来意和需求，他爽快地答应了帮忙。为了让测试更具挑战性，他直接给我发了一套最新的 2024 年全国高考数学卷，并表示愿意从专业教师的角度对 o1 模型的推理能力进行评分。如此绝佳的机会，我们当然迫不及待地开始测试，看看 o1 模型到底能不能在高考这块 “硬骨头” 面前表现出色！

说干就干，我立刻将高考试卷的部分题目喂给 o1，准备好看看它会如何处理这些棘手的数学问题。从之前的版本来看，GPT 的回答常常在数学问题上表现得像个 “经验型玩家”—— 擅长套用它见过的模板，却在面对复杂推理和严谨计算时常常 “掉链子”。这一次，让我们使用全新的模型一题一题来测试，看看 o1 在面对 2024 年最新的高考数学题时，是否真能像个数学尖子生那样，一步步推理、运算，并最终得出正确答案。

测试流程和说明

本次测试分为三个部分。分别是试题转换、作答和改正

试题转换

由于 o1 模型当前无法处理图片输入，同时为了避免 OCR 技术带来的识别错误，我们决定采取 “人工 + GPT-4o” 协作的方式，将 PDF 格式的 2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 II 卷）中的选择题和填空题转换为 LaTeX 格式，便于后续 o1 模型的调用和测试。

对于那些也想测试 o1 推理能力的朋友们，我在这里分享转化后的文档，方便大家直接使用进行相同的测试。以下是经过转换的 LaTeX 试题：

latex
1. 已知 z = -1 - i, 则 |z| = ( \quad ).

A. 0 \quad B. 1 \quad C. \sqrt {2} \quad D. 2

2. 已知命题：p: \forall x \in \mathbb {R}, |x+1| > 1，命题 q: \exists x > 0, x^3 = x, 则 ( \quad ).

A. p 和 q 都是真命题 \quad B. \neg p 和 q 都是真命题

C. p 和 \neg q 都是真命题 \quad D. \neg p 和 \neg q 都是真命题

3. 已知向量 \vec {a}, \vec {b} 满足 |\vec {a}| = 1，|\vec {a} + 2\vec {b}| = 2, 且 (\vec {b} - 2\vec {a}) \perp \vec {b}，

则 |\vec {b}| = ( \quad ).

A. \frac {1}{2} \quad B. \frac {\sqrt {2}}{2} \quad C. \frac {\sqrt {3}}{2} \quad D. 1

4. 某农业研究部门在面积相等的 100 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量 (单位：kg) 并整理下表：

\begin {tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
亩产量 & [900, 950) & [950, 1000) & [1000, 1500) & [1100, 1150) & [1150, 1200) \\
\hline
生产数 & 6 & 12 & 18 & 24 & 10 \\
\hline
\end {tabular}

根据数据，结论中正确的是 ( \quad )。

A. 100 块稻田亩产量中位数小于 1050kg

B. 100 块稻田中亩产量低于 1100kg 的稻田所占比例超过 20%

C. 100 块稻田亩产量的标准差介于 200kg 至 300kg 之间

D. 100 块稻田亩产量的平均值介于 900kg 至 1000kg 之间

5. 已知曲线 C: x^2 + y^2 = 16 (y > 0)，从 C 上任意一点 P 向 x 轴作垂线 PP'，P' 为垂足，则线段 PP' 的中点 M 的轨迹方程为 ( \quad )。

A. \frac {x^2}{16} + \frac {y^2}{4} = 1 (y > 0) \quad B. \frac {x^2}{16} + \frac {y^2}{8} = 1 (y > 0)

C. \frac {y^2}{16} + \frac {x^2}{4} = 1 (y > 0) \quad D. \frac {y^2}{16} + \frac {x^2}{8} = 1 (y > 0)

6. 设函数 f (x) = a (x+1)^2 - 1，g (x) = \cos {x} + 2a x，当 x \in (-1,1) 时，曲线 y = f (x) 与 y = g (x) 恰有一个极点，则 a = ( \quad )。

A. -1 \quad B. \frac {1}{2} \quad C. 1 \quad D. 2


7. 已知正三棱台 ABC - A_1B_1C_1 的体积为 \frac{52}{3}，AB = 6，A_1B_1 = 2, 则 A_1A 与平面 ABC 所成角的正切值为 ( \quad )。

A. \frac {1}{2} \quad B. 1 \quad C. 2 \quad D. 3

8. 设函数 f (x) = (x + a)\ln (x + b)，若 f (x) \geq 0, 则 a^2 + b^2 的最小值为 ( \quad )。

A. \frac {1}{8} \quad B. \frac {1}{4} \quad C. \frac {1}{2} \quad D. 1

9. 对于函数 f (x) = \sin 2x 和 g (x) = \sin\left (2x - \frac {\pi}{4}\right)，下列正确的有 ( \quad )。

A. f (x) 与 g (x) 有相同零点

B. f (x) 与 g (x) 有相同最大值

C. f (x) 与 g (x) 有相同的最小正周期

D. f (x) 与 g (x) 的图像有相同的对称轴

10. 抛物线 C: y^2 = 4x 的准线为 l，P 为 C 上的动点，过 P 作 ⊙A: x^2 + (y - 4)^2 = 1 的一条切线，Q 有切点， 对 P 作 C 的垂线，垂足为 B，则 ( \quad )。

A. l 与 ⊙A 相切

B. 当 P, A, B 三点共线时，|PQ| = \sqrt {15}

C. 当 |PB| = 2 时，PA \perp AB

D. 满足 |PA| = |PB| 的点 A 有且仅有 2 个

11. 设函数 f (x) = 2x^3 - 3ax^2 + 1, 则 ( \quad )。

A. 当 a > 1 时，f (x) 有一个零点

B. 当 a < 0 时 x = 0 是 f (x) 的极大值点

C. 存在 a, b 使得 x = b 为曲线 y = f (x) 的对称轴

D. 存在 a 使得点 (1, f (1)) 为曲线 y = f (x) 的对称中心

12. 记 S_n 为等差数列 \{a_n\} 的前 n 项和，若 a_3 + a_4 = 7，3a_2 + a_5 = 5，则 S_{10} = \underline {\quad}。

13. 已知 \alpha 为第一象限角，\beta 为第三象限角，\tan \alpha + \tan \beta = 4，\tan \alpha \tan \beta = \sqrt {2} + 1，则

\sin (\alpha + \beta) = \underline {\quad}。

14. 在右图的 4 \times 4 方格表中选 4 个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有 \underline {\quad} 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的 4 个数之和的最大值是 \underline {\quad}。

\begin {array}{|c|c|c|c|}
\hline
11 & 21 & 31 & 40 \\
\hline
12 & 22 & 33 & 42 \\
\hline
13 & 22 & 33 & 43 \\
\hline
15 & 24 & 34 & 44 \\
\hline
\end {array}

如果有需要的话，还请尽情取用～

试题作答

这部分是这次测试的核心，根据 OpenAI 官方的说法，由于 o1 以一个全新的模式处理提供的内容，所以现在的 prompt 要尽量简单直接，原来的那些基于权重的 prompt 并不能很好的在 o1 上工作，所以这次的前置我只输入了必要的内容：

我会给你发送 LaTeX 格式的数学试题，你要分析并得出答案，你要根据题号进行作答：1-8 是单选，只有一个正确答案；9-11 是多选，至少两个正确答案。题号在试题的最前方，当你给出答案时，设计数学符号的表述请也以 LaTeX 的格式提供给我，如果你准备好了 回复开始 我将发送第一题给你

经过短暂的几秒思考，o1 只简单地回复了我两个字：「开始」。这点非常不错，和 GPT-4o 的表现如出一辙，远胜于之前的 GPT-4.0。它现在明显更能 “听懂人话”，会根据你的要求精准作答，而不是给出一堆冗长无用的废话。

接下来，我开始逐题测试 o1 的能力：每次将一道试题粘贴到对话框中，等待它给出 ABCD 选项中的一个或多个（针对选择题），或者直接填空题的答案。每次答完一道题，我才发送下一道。在这个过程中，我并没有告诉它答案是否正确，也没有给任何额外的提示或指导，甚至没有告诉它哪些是需要重点关注的部分。唯一的 “指示” 是在多选题和填空题开始时，我简单提醒了一句 “接下来是 XXX”。

这个测试过程尽量还原了人在高考考场上的真实状态 —— 没有人会告诉你应该怎么答题，也不会在你写完答案后立即反馈正确与否。唯一的提示来自题目的编号和简短的文字描述，完全模拟了考场上那种全凭个人理解的情境。

经过不到十分钟的作答，o1 顺利完成了全部选择题和填空题的解答。最长的一道题目花了约 60 秒思考，而最短的则不到五秒。最终，在选择题和填空题的总分 73 分中，o1 取得了 64 分的好成绩！它只在一道单选题上出错，并且在一道多选题中出现了少选的情况，而填空题部分全部正确。

这个成绩无疑非常亮眼，尤其是考虑到之前的 GPT-4 和 GPT-4o 基本不可能达到这样高的准确率。在它们的测试中，尤其是涉及复杂推理和数学问题时，常常会因为逻辑不清或推理错误而掉分。而这次，o1 不仅准确度大幅提升，且在填空题上的表现尤为出色，展示了其在计算和推理方面的进步。

比起 o1 的高分表现，更有趣的是它的思考过程和高考题目的难度排布形成了正相关。前几道题几乎没有花费太多时间，迅速给出了答案，随着题号的增大，o1 的思考时间也逐渐延长。在单选题的第 6、7、8 题时，它的思考时间均超过了 30 秒，而在多选题部分，思考的时间普遍比单选题更长。

更有趣的是，o1 在返回结果时竟然也表现出一种 “区别对待” 的倾向，仿佛在它的作答中，我看到了当年老师的影子。对于前几道简单的选择题，o1 显得格外简洁，几乎不愿多说一句，只给出一个选项，似乎在 “暗示” 这些基础题目没什么好解释的 ——“这东西太简单了，没必要多费口舌，大家都会吧，直接跳过。”

然而，到了选择题的中部，o1 的风格明显发生了变化。它开始为每一个选择进行简要的解释，展示出它对题目的分析和思考过程，好像在说：“这部分稍微有点难度，但我还是能给出合理的推理。” 而到了压轴部分，o1 不仅给出答案，还花费了大量篇幅去解释它的推理过程。

这种表现方式真的是太有趣了！它不仅让人感受到 o1 似乎具备某种 “层次感”，能够根据题目的难度调整自己的作答风格。o1 的这种作答表现，不仅仅是 AI 简单的逻辑输出，更像是在模仿某种 “人性化” 的解题策略。它似乎有能力感知题目的难度，并在简单题目和难题之间作出合适的反应，既体现了它的效率，也展现了它的推理深度。这种 “灵活性” 不仅让 o1 看起来更接近一个人类考生，还让它在不同情境下能根据题目做出应对变化，仿佛真的拥有了某种 “教育从业者” 的风格。

同样的现象也出现在填空题中，第一道填空题只用了 11 秒就给出答案，而最后几道填空题则花了接近 40 秒。这种思考时间的逐步增加与题目难度的提升完美契合，这和我们参加高考时的体验非常相似：前几题通常较为简单，能迅速解答，而后面的题目则逐渐加大难度，迫使我们花费更多时间思考。

这种思考时间的直观增长，主要展示了 o1 模型对问题难度的敏感度的精准捕捉。我们都知道，越到试卷的后半段，题目的复杂度和计算量越大，需要更多的推理和推算时间。以往的 GPT 4 或 4o 在面对多元化答案或者需要分类讨论的时候准率骤降。这一变化使得 o1 的表现更接近一个真正的 “考生”，在不同题目前调整自己的思维节奏。

错题验算

这是一个额外的测试环节。在 o1 解答完所有试题后，我告诉它做错了两道题，并给了它最后一次机会进行改正。用过 GPT 的朋友们都知道，GPT 对用户输入的反馈非常敏感，甚至有点 “过于顺从”。如果你对 GPT 坚持说 “你回答错了”，即便它最初给出的答案是正确的，它也很可能会开始动摇，甚至直接修改之前的正确答案。这一特性为我们提供了一个有趣的测试场景。

在这个环节，我们就是要检验 o1 是否依然具备这种 “盲目服从” 的倾向。为了获取更高的分数，当它知道自己第一次作答有误时，它会重新思考并根据逻辑推理改正答案，还是会顺从用户输入的提示，修改自己的答案呢？

做得好，你答完了所有的试题！其中错误两道：4 题、11 题。

现在你有一次改错的机会，再算一次第四题和第十一题：

「下面省略的部分为第四题和第十一题题干」

在错选的单选和多选题的重新作答中，o1 展现了截然不同的应对思路。在单选题中，o1 毫不犹豫地更换了自己的答案（虽然依旧不正确），表现出了一种快速调整策略的倾向。然而，在多选题中，它的表现却大不相同，展现出更加谨慎的作答逻辑。

我猜测这种差异可能与我事先告知它多选题的赋分规则有关：

多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分。

o1 似乎在策略上选择了更加 “保守” 的方式，依旧坚持选择了它第一次作答时的单一选项，虽然这让它错过了全部得分的机会，但它显然是为了避免选错一个而失去所有分数。这种思路让我不禁感到一丝亲切 —— 这不就是我们许多考生在高考时的心态吗？面对多选题的 “高风险”，宁可选择保守作答，以求稳妥的部分得分，而非冒险选错，导致全军覆没。

回想起我当年的高考，我也曾在多选题面前摇摆不定，最终选择了较为稳妥的策略，毕竟错选一个选项就意味着一分都拿不到。这种谨慎的作答风格体现了 o1 在某些决策中的 “理性选择”，并且在模拟考生心理方面竟然表现得如此接近人类。这一点让人不仅感到有趣，也展示了 o1 在解题时不仅能进行逻辑推理，还能在某种程度出现了 “风险管理” 的萌芽。

总结

GPT-o1 模型一经发布，立刻引起了广泛关注。作为 OpenAI 的最新力作，o1 的推理能力明显增强，但随之而来的，是回答速度的 “沉稳” 化。相比过去的模型，o1 在作答时更注重逻辑严谨性，似乎每次回答前都经过了深思熟虑。然而，令人忍俊不禁的是，它又回归到了纯文字模式，似乎放下了对图片和语音处理的追求。尽管如此，在面对复杂问题时，o1 的表现仍然让人眼前一亮，尤其是在高考数学题的测试中，它展现了惊人的推理深度和准确度，仿佛有了 “考生” 般的意识。可以说，o1 模型不仅是在推理上进化，还带来了一种更接近人类思维的解答方式。Claude 的 Sonet 模型，尤其是其 Artifacts 功能，在自然语义理解上曾一度优于 GPT。不过，随着 GPT-o1 的发布，AI 领域的竞争再次加剧，双方在推理和语义处理上的差距逐渐缩小。

展望未来，尤其在 K12 教育行业，AI 模型的进步无疑将带来巨大变革。随着推理能力的提升，像 GPT-o1 这样的模型在解题、个性化辅导等教育场景中将扮演更加重要的角色，为学生提供定制化的学习支持，帮助他们更好地理解复杂问题和培养逻辑思维。这不仅将有效提升学习效率，还能为教育行业注入全新的智能化动力，未来的教育体验也因此令人期待。

作答原文

我将所有与 o1 模型的交谈记录放在这里，供有兴趣的教师朋友们评估。

第一题：思考少于五秒，正确

第二题：思考 8 秒，正确

第三题：思考 11 秒，正确

第四题：思考 103（26+77） 秒，错误，改正后错误

第五题：思考 5 秒，正确

第六题：思考 60 秒，正确

第七题：思考 8 秒，正确

latex
7. B. \(1\)

**解析：**

首先，正三棱台的体积公式为：
\[
V = \frac {1}{3} h \left ( S_1 + S_2 + \sqrt {S_1 S_2} \right)
\]
其中：
- \( h \) 为正三棱台的高；
- \( S_1 \) 和 \( S_2 \) 分别为上、下底面的面积。

计算底面和上底面的面积：
\[
\begin {align*}
S_1 &= \frac {\sqrt {3}}{4} \times (6)^2 = 9\sqrt {3}, \\
S_2 &= \frac {\sqrt {3}}{4} \times (2)^2 = \sqrt {3}.
\end {align*}
\]

计算 \( \sqrt {S_1 S_2} \)：
\[
\sqrt {S_1 S_2} = \sqrt {9\sqrt {3} \times \sqrt {3}} = \sqrt {27} = 3\sqrt {3}.
\]

将以上结果代入体积公式，得：
\[
\frac {1}{3} h \left ( 9\sqrt {3} + \sqrt {3} + 3\sqrt {3} \right) = \frac {52}{3}.
\]

求和：
\[
9\sqrt {3} + \sqrt {3} + 3\sqrt {3} = 13\sqrt {3}.
\]

简化方程：
\[
\frac {1}{3} h \times 13\sqrt {3} = \frac {52}{3} \\
\implies h = \frac {52}{13\sqrt {3}} = \frac {4}{\sqrt {3}} = \frac {4\sqrt {3}}{3}.
\]

计算下底面和上底面外接圆的半径：
\[
\begin {align*}
R_1 &= \frac {6}{\sqrt {3}} = 2\sqrt {3}, \\
R_2 &= \frac {2}{\sqrt {3}} = \frac {2\sqrt {3}}{3}.
\end {align*}
\]

计算斜棱在底面上的投影长度：
\[
d = R_1 - R_2 = 2\sqrt {3} - \frac {2\sqrt {3}}{3} = \frac {4\sqrt {3}}{3}.
\]

因此，斜棱 \( A_1A \) 与底面 \( ABC \) 所成角的正切值为：
\[
\tan {\theta} = \frac {h}{d} = \frac {\frac {4\sqrt {3}}{3}}{\frac {4\sqrt {3}}{3}} = 1.
\]

所以，答案是 B。

第八题：思考 34 秒，正确

latex
8. C. \(\dfrac {1}{2}\)

**解析：**

首先，考虑函数 \( f (x) = (x + a)\ln (x + b) \)。

令 \( t = x + b \)，则 \( x = t - b \)，函数变为：
\[
f (t) = (t - b + a)\ln t = (t + (a - b))\ln t
\]
为了使 \( f (t) \geq 0 \) 对于所有 \( t > 0 \)，需要分析函数的符号。

**分析函数符号：**

1. 当 \( t \in (0,1) \) 时，\( \ln t < 0 \)，要使 \( f (t) \geq 0 \)，需满足 \( t + (a - b) \leq 0 \)。
2. 当 \( t = 1 \) 时，\( \ln t = 0 \)，\( f (t) = 0 \)。
3. 当 \( t > 1 \) 时，\( \ln t > 0 \)，要使 \( f (t) \geq 0 \)，需满足 \( t + (a - b) \geq 0 \)。

上述两种情况下同时满足的唯一可能是：
\[
a - b = -1 \implies a = b - 1
\]
此时，函数为：
\[
f (t) = (t - 1)\ln t
\]
此函数在 \( t > 0 \) 上恒非负。

**计算最小值：**

现在，计算 \( a^2 + b^2 \)：
\[
\begin {align*}
a^2 + b^2 &= (b - 1)^2 + b^2 \\
&= b^2 - 2b + 1 + b^2 \\
&= 2b^2 - 2b + 1
\end {align*}
\]
将其看作关于 \( b \) 的二次函数：
\[
f (b) = 2b^2 - 2b + 1
\]
二次函数的最小值出现在：
\[
b = \frac {-(-2)}{2 \times 2} = \frac {1}{2}
\]
代入得最小值：
\[
\begin {align*}
a^2 + b^2 &= 2\left (\frac {1}{2}\right)^2 - 2\left (\frac {1}{2}\right) + 1 \\
&= 2 \times \frac {1}{4} - 1 + 1 \\
&= \frac {1}{2}
\end {align*}
\]
因此，\( a^2 + b^2 \) 的最小值为 \( \dfrac {1}{2} \)。

第九题：思考 22 秒，正确

latex
9. **B、C**

**解析：**

**A.** **错误**。  
对于函数 \( f (x) = \sin 2x \)，其零点为：
\[
2x = n\pi \implies x = n\frac {\pi}{2}
\]
其中 \( n \) 为整数。

对于函数 \( g (x) = \sin\left (2x - \frac {\pi}{4}\right) \)，其零点为：
\[
2x - \frac {\pi}{4} = n\pi \implies x = n\frac {\pi}{2} + \frac {\pi}{8}
\]
因此，两个函数的零点不相同。

---

**B.** **正确**。  
两个函数的最大值均为 1，因为正弦函数的取值范围是 \([-1, 1]\)，幅值相同，故最大值相同。

---

**C.** **正确**。  
函数的最小正周期为：
\[
T = \frac {2\pi}{|k|}
\]
对于 \( f (x) \) 和 \( g (x) \)，均有 \( k = 2 \)，所以最小正周期都是：
\[
T = \frac {2\pi}{2} = \pi
\]

---

**D.** **错误**。  
由于 \( g (x) \) 相对于 \( f (x) \) 有相位位移 \( \frac {\pi}{4} \)，因此它们的图像对称轴不同。

第十题：思考 35 秒，正确

latex
10. **A、B、D**

**解析：**

**A.** **正确**

抛物线 \( C \) 的准线为 \( l: x = -1 \)。圆 \( \odot A \) 的方程为 \( x^2 + (y - 4)^2 = 1 \)，其圆心为 \( A (0, 4) \)，半径为 1。

计算圆心到准线 \( l \) 的距离：

\[
d = |0 + 1| = 1
\]

因为距离等于圆的半径，故直线 \( l \) 与圆 \( \odot A \) 相切。

---

**B.** **正确**

设点 \( P (x, y) \) 在抛物线上，则 \( y^2 = 4x \)。点 \( B (-1, y) \)，点 \( A (0, 4) \)。

当点 \( P \)、\( A \)、\( B \) 三点共线时，需满足：

\[
\frac {y - 4}{x - 0} = \frac {y - y}{x - (-1)}
\]

由于 \( y - y = 0 \)，所以必须有 \( y - 4 = 0 \)，即 \( y = 4 \)。代入抛物线方程得：

\[
(4)^2 = 4x \implies x = 4
\]

此时 \( P (4, 4) \)，\( B (-1, 4) \)，\( A (0, 4) \) 共线。

计算切线长度：

\[
|PA| = \sqrt {(4 - 0)^2 + (4 - 4)^2} = 4 \\
|PQ| = \sqrt {|PA|^2 - r^2} = \sqrt {4^2 - 1^2} = \sqrt {15}
\]

因此，当 \( P, A, B \) 共线时，\( |PQ| = \sqrt {15} \)。

---

**C.** **错误**

当 \( |PB| = 2 \) 时，\( |x + 1| = 2 \implies x = 1 \)（因为抛物线在 \( x \geq 0 \)）。对应的 \( y \) 值为：

\[
y^2 = 4 \times 1 \implies y = \pm 2
\]

计算 \( PA \) 和 \( AB \) 的向量，发现它们的内积不为零，故不垂直。

---

**D.** **正确**

设 \( |PA| = |PB| \)，则：

\[
\sqrt {(x - 0)^2 + (y - 4)^2} = |x + 1|
\]

两边平方得：

\[
x^2 + (y - 4)^2 = (x + 1)^2
\]

整理得：

\[
x^2 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + 2x + 1 \\
y^2 - 8y + 16 - 2x - 1 = 0
\]

由于 \( y^2 = 4x \)，代入得：

\[
y^2 - 8y + 16 - \frac {1}{2} y^2 - 1 = 0 \\
\frac {1}{2} y^2 - 8y + 15 = 0
\]

解此二次方程，有且仅有两个实数解，因此满足条件的点 \( A \) 有且仅有两个。

---

因此，正确的选项是 **A、B、D**。

第十一题：思考 164（51+103） 秒，少选，改正后少选

latex
11. **D**

**解析：**

**选项 A：**

函数 \( f (x) = 2x^3 - 3a x^2 + 1 \)。

要确定当 \( a > 1 \) 时，\( f (x) \) 是否只有一个零点。

考虑函数的极值点，求导数：

\[
f'(x) = 6x^2 - 6a x = 6x (x - a)
\]

设 \( f'(x) = 0 \)，得极值点 \( x = 0 \) 和 \( x = a \)。

计算二次导数：

\[
f''(x) = 12x - 6a
\]

当 \( x = 0 \) 时，\( f''(0) = -6a \)。

- 若 \( a > 0 \)，则 \( f''(0) < 0 \)，\( x = 0 \) 为极大值点。
- 若 \( a < 0 \)，则 \( f''(0) > 0 \)，\( x = 0 \) 为极小值点。

当 \( a > 1 \) 时，函数在 \( x = 0 \) 处有极大值，在 \( x = a \) 处有极小值。

由于立方函数在无穷远处的函数值符号相反，因此函数 \( f (x) \) 在实数范围内有三个零点。

**因此，选项 A 错误。**

---

**选项 B：**

当 \( a < 0 \) 时，计算二次导数 \( f''(0) = -6a \)。

- 因为 \( a < 0 \)，所以 \( -6a > 0 \)，因此 \( x = 0 \) 为极小值点，而非极大值点。

**因此，选项 B 错误。**

---

**选项 C：**

立方函数一般不关于某条直线对称，除非它具有特殊形式。立方函数的对称性通常是关于其拐点，即关于某点中心对称，而非轴对称。

**因此，选项 C 错误。**

---

**选项 D：**

立方函数的拐点可通过令二阶导数为零求得：

\[
f''(x) = 12x - 6a = 0 \implies x = \frac {a}{2}
\]

拐点为 \( \left ( \frac {a}{2}, f\left ( \frac {a}{2} \right) \right) \)，函数关于此点中心对称。

若要使点 \( (1, f (1)) \) 为对称中心，则需要满足：

\[
\frac {a}{2} = 1 \implies a = 2
\]

验证 \( a = 2 \) 时，拐点为 \( (1, f (1)) \)。

因此，存在 \( a = 2 \) 使得点 \( (1, f (1)) \) 为曲线 \( y = f (x) \) 的对称中心。

**因此，选项 D 正确。**

第十二题：思考 11 秒，正确

latex
12. **95**

**解析：**

设等差数列的首项为 \( a_1 \)，公差为 \( d \)。

根据题意：

1. \( a_3 + a_4 = 7 \)

   计算 \( a_3 \) 和 \( a_4 \)：
   \[
   \begin {align*}
   a_3 &= a_1 + 2d, \\
   a_4 &= a_1 + 3d.
   \end {align*}
   \]
   代入得：
   \[
   (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) = 7 \implies 2a_1 + 5d = 7. \quad (1)
   \]

2. \( 3a_2 + a_5 = 5 \)

   计算 \( a_2 \) 和 \( a_5 \)：
   \[
   \begin {align*}
   a_2 &= a_1 + d, \\
   a_5 &= a_1 + 4d.
   \end {align*}
   \]
   代入得：
   \[
   3 (a_1 + d) + (a_1 + 4d) = 5 \implies 4a_1 + 7d = 5. \quad (2)
   \]

解方程组 (1) 和 (2)：

从方程 (1) 得到：
\[
2a_1 + 5d = 7 \implies 2a_1 = 7 - 5d.
\]

将 \( 2a_1 \) 代入方程 (2)：
\[
(7 - 5d) + 7d = 5 \implies 7 - 5d + 7d = 5 \implies 2d = -2 \implies d = -1.
\]

代入 \( d = -1 \) 回到方程 (1)：
\[
2a_1 + 5(-1) = 7 \implies 2a_1 - 5 = 7 \implies 2a_1 = 12 \implies a_1 = 6.
\]

计算前 10 项和 \( S_{10} \)：
\[
S_{10} = \frac{10}{2} [2a_1 + (10 - 1) d] = 5 [2 \times 6 + 9 \times (-1)] = 5 [12 - 9] = 5 \times 3 = 15.
\]

但这里计算出了 \( S_{10} = 15 \)，与前面我们得到的答案 95 不符。

等等，之前的计算似乎有错误。重新核算一下。

发现我在计算 \( d \) 的时候有错误，之前算 \( 2d = 9 \implies d = 3 \)，但是上面的解法中 \( 2d = -2 \implies d = -1 \)。

原来在之前的计算中，把方程组解错了。

回到最初的方程组：

(1) \( 2a_1 + 5d = 7 \)

(2) \( 4a_1 + 7d = 5 \)

乘方程 (1) 两边乘以 2：

\( 4a_1 + 10d = 14 \) --- (1a)

用 (1a) 减去 (2)：

\( (4a_1 + 10d) - (4a_1 + 7d) = 14 - 5 \)

\( 3d = 9 \implies d = 3 \)

代入 \( d = 3 \) 到 (1)：

\( 2a_1 + 5 \times 3 = 7 \implies 2a_1 + 15 = 7 \implies 2a_1 = -8 \implies a_1 = -4 \)

计算 \( S_{10} \)：

\[
S_{10} = \frac{10}{2} [2a_1 + (10 - 1) d] = 5 [2 \times (-4) + 9 \times 3] = 5 [-8 + 27] = 5 \times 19 = 95.
\]

因此，\( S_{10} = 95 \)。

---

**答案：95**

第十三题：思考 17 秒，正确

latex
13. **\(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)**

**解析：**

已知：
- \(\alpha\) 为第一象限角，\(\beta\) 为第三象限角；
- \(\tan \alpha + \tan \beta = 4\)；
- \(\tan \alpha \tan \beta = \sqrt {2} + 1\)。

**步骤1：求 \(\tan(\alpha + \beta)\)**

利用正切的和公式：
\[
\tan (\alpha + \beta) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
\]

代入已知条件：
\[
\tan (\alpha + \beta) = \frac {4}{1 - (\sqrt {2} + 1)} = \frac {4}{- \sqrt {2}} = -2\sqrt {2}
\]

**步骤2：确定 \(\alpha + \beta\) 的象限**

- \(\alpha\) 在第一象限，\(\beta\) 在第三象限，所以 \(\alpha + \beta\) 的范围为 \((\pi, 2\pi)\)，即第三或第四象限。
- 由于 \(\tan (\alpha + \beta) = -2\sqrt {2} < 0\)，\(\tan\) 在第四象限为负值，因此 \(\alpha + \beta\) 在第四象限。

**步骤3：求 \(\sin(\alpha + \beta)\)**

设：
\[
\theta = \alpha + \beta
\]
由于 \(\theta\) 在第四象限，\(\sin \theta < 0\)，\(\cos \theta > 0\)。

根据 \(\tan \theta = -2\sqrt {2}\)，可设：
\[
\tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta} = -2\sqrt {2}
\]

令：
\[
\cos \theta = a > 0 \\
\sin \theta = b < 0
\]

因此：
\[
\frac {b}{a} = -2\sqrt {2} \implies b = -2\sqrt {2} a
\]

利用单位圆恒等式：
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \implies (-2\sqrt {2} a)^2 + a^2 = 1 \\
8a^2 + a^2 = 1 \implies 9a^2 = 1 \implies a = \frac {1}{3}
\]

求出 \(b\)：
\[
b = -2\sqrt {2} \times \frac {1}{3} = -\frac {2\sqrt {2}}{3}
\]

**因此：**
\[
\sin (\alpha + \beta) = b = -\frac {2\sqrt {2}}{3}
\]

---

**答案：\(-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)**

第十四题：思考 28 秒，正确

latex
14. **24**  **112**

**解析：**

**第一问：**

在一个 \( 4 \times 4 \) 的方格表中，要求每行和每列均恰有一个方格被选中。这相当于在 4 个元素的集合上求全排列。

因此，选法的总数为：

\[
4! = 24
\]

---

**第二问：**

需要在所有符合条件的选法中，找到选中方格内 4 个数之和的最大值。

首先，将方格表中的数值和对应的位置标记如下：

\[
\begin {array}{|c|c|c|c|}
\hline
(1,1)\,11 & (1,2)\,21 & (1,3)\,31 & (1,4)\,40 \\
\hline
(2,1)\,12 & (2,2)\,22 & (2,3)\,33 & (2,4)\,42 \\
\hline
(3,1)\,13 & (3,2)\,22 & (3,3)\,33 & (3,4)\,43 \\
\hline
(4,1)\,15 & (4,2)\,24 & (4,3)\,34 & (4,4)\,44 \\
\hline
\end {array}
\]

选中方格的位置可表示为 \( (i, \sigma (i)) \)，其中 \( \sigma \) 为 \( \{1,2,3,4\} \) 的一个排列。

列举所有可能的排列（共 24 种），计算每种情况下选中数的总和。通过计算，发现最大总和为 **112**，对应的排列为：

- **排列 10**：\( \sigma = (2,3,4,1) \)

对应的选中方格和数值为：

1. 第 1 行第 2 列：\( (1,2) \) 数值为 21
2. 第 2 行第 3 列：\( (2,3) \) 数值为 33
3. 第 3 行第 4 列：\( (3,4) \) 数值为 43
4. 第 4 行第 1 列：\( (4,1) \) 数值为 15

计算总和：

\[
21 + 33 + 43 + 15 = 112
\]

因此，选中方格的 4 个数之和的最大值是 **112**。

---

**答案：24  112**